Fonction exponentielle de base 10 et fonction logarithme décimal

Soit $f$ la fonction exponentielle de base 10, définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={10}^x$ .

Cette fonction est utilisée dans de nombreux domaines scientifiques.

Partie A   Représentation de $f$  - Calculs algébriques

1. Parmi ces trois courbes, indiquer celle qui représente la fonction $f$ .

2.  En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée au dixième des nombres suivants :

    a. ${10}^{3,2}$           b. ${10}^{\frac{1}{5}}$           c. ${\displaystyle \frac{{10}^{24}\times {10}^{2,1}}{3\times {10}^3}}$           d. ${\displaystyle \frac{1}{{10}^{2,9}}}$

3. Il est possible d'étendre l'ensemble de définition de cette fonction à `\mathbb{R)` en posant pour tout réel $x$ :  ${10}^{-x}={\displaystyle \frac{1}{{10}^x}}=0,1^x$ .                                               $$

La fonction ainsi obtenue possède les mêmes propriétés algébriques que les fonctions exponentielles de base $a$ .

Sans utiliser la calculatrice, écrire sous forme de puissances de 10 les nombres suivants.

    a. ${10}^{-0,01}\times {10}^3$           b. ${\displaystyle \frac{{10}^{-3,4}}{{10}^{-2,1}}}$           c. ${\displaystyle \frac{{10}^{-8}\times {10}^{4,5}}{({10}^{-1,25}{)}^{100}}}$

Partie B   Résolution de l'équation  ${10}^x=m$

Il est possible de résoudre simplement l'équation ${10}^x=m$ , où  $m$ est un réel strictement positif donné en utilisant la fonction logarithme décimal. Elle est notée log :                                     ${10}^x=m⟺x=\text{log}m$ .

Sur une calculatrice, elle correspond à la touche log :

1. En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée des nombres suivants :

    a. $\log 2$           b. $\log 6$           c. $\log 45$           d. $\log 0,45$

2. Résoudre les équations suivantes :

      a. ${10}^x=5$           b. ${10}^{-x}=7$           c. $4\times {10}^x=3$           d. ${10}^{2x+1}=1,2·{10}^{-6}$

Partie C   Exemples d'utilisation du logarithme décimal en sciences

1. Le pH d'une solution est donné par la formule : $\text{[pH]}=-\log [{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]$

où $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]$  est la concentration exprimée en  ${\text{mol.L}}^{-1}$ de l'ion hydronium ${\text{H}}_3{\text{O}}^{+}$ .

Calculer le pH d'une solution telle que $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]=3·{10}^{-5}{\text{mol.L}}^{-1}$ . Est-elle acide ou basique?

2. Le décibel, de symbole dB, est une unité couramment employée pour caractériser le niveau sonore d'un bruit. L'intensité d'un sol est mesurée sur une échelle dont le point de référence  $P_0$ est la plus petite puissance sonore perceptible par l’oreille humaine : $P_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$ .

Le niveau sonore $N$ d'un bruit, exprimé en dB, est donné par la formule : $N=10\text{log}{\displaystyle \frac{P}{P_0}}$

où $P$ désigne l'intensité du bruit étudié, en ${\text{W/m}}^2$ .

    a. Calculer $N$ pour une enceinte telle que $P={10}^{-5}{\text{W/m}}^2$ .

    b. Comment évolue $N$ si l'on double la quantité de bruit de l'enceinte ( $P=2\times {10}^{-5}{\text{W/m}}^2$ ) ?